Binary Search Trees, BST Sort

Runway Reservation System

• 단일 활주로를 가진 공항을 가정
• 활주로에 대한 착륙 시간을 예약하는 시스템
• 비행기가 착륙하면 착륙예정 이벤트에서 해당 예약을 제거
• 예약은 착륙예정 시간 t로 이루어짐
• 예약 요청시간 t 전후 k 분 이내에 다른 예약이 없는 경우에만 해당 요청을 set에 추가

> 목표: 해당 시스템을 O(logn) time에 처리하는 시스템 구현

어떤 자료구조를 통해 구현할 수 있을까?

1. Sorted Array

먼저 정렬된 배열을 생각해보면 정렬되어 있으므로 binary search를 통해서 해당 요청이 들어갈 자리를 찾을 수 있다.(logn)

하지만 위치를 찾은 이후 해당 요청을 array에 삽입할 때 나머지 요소의 shift에 Θ(n) 의 작업 필요

2. Sorted List

k minute check는 constant time에 처리 가능하지만 insertion point를 찾는데 O(n) 이 소요된다.

3. Min-heap

요청을 적절한 위치에 삽입하는데는 O(logn) 이 소요되지만 k-minute check에 O(n) 의 시간이 소요된다.

4. Dictionary

삽입에는 O(1), k-minute check에는 Ω(n).

Binary Search Trees

특징

• 모든 노드 x는 key(x)라는 property를 갖는다.
• root가 아닌 모든 노드는 parent(x) property를 갖는다
• 모든 노드는 left(x) 또는 right(x)의 child property를 가질 수 있다.(heap과 다르게 pointer 존재)
• 모든 노드 x에 대하여, x의 left subtree에 존재하는 노드 y는 key(y) <= key(x)의 특징을 만족한다.
• 반대로 right subtree의 y에 대해서 key(y) >= key(x)를 만족

Insertion

root에서부터 노드를 따라 내려가며 k-minute check를 해가며 요청이 위치할 자리를 찾는다. k-minute check에 위배되는 node를 만나면 작업을 멈추고 요청에 대한 예약이 불가능한 것으로 처리한다.

Complexity

BST의 모든 연산은 tree의 높이 h 에 해당하는 시간복잡도 O(h) 를 갖는다.

해치웠나?

Tree의 높이 h 는 O(logn) 이 되어야 하나 위 그림에서 보면 h 는 O(n) 이 된다. Balanced BST가 해답이 될 수 있는데 다음 시간에!